存档传输中的校验位可以由一串二进制多项式运算产生。它能帮助发现部分数据损坏，但一个短余数不可能唯一代表所有长消息，更不能证明消息来源可信。

先把规则写清楚

本例采用明确列出的生成多项式二进制串，最高位和最低位均为一。把消息末尾补上多项式次数个零，做模二长除法：对齐最高位后逐位异或，直到剩余位数不足。所得余数补齐宽度，附在原消息后构成码字。

本例输入与推演结果

消息11101111000111010，生成多项式1011，余数宽度3。

长除法各次异或后： 01011111000111010000 00000111000111010000 00000010100111010000 00000000010111010000 00000000000001010000 00000000000000001000 00000000000000000011 余数011，码字11101111000111010011。 翻转位编号 | 改后码字 | 校验余数 | 检测到变化 [18] | 11101111000111010001 | 010 | True [5] | 11101011000111010011 | 001 | True [3] | 11111111000111010011 | 100 | True [16] | 11101111000111011011 | 011 | True [1, 3, 4, 16] | 10110111000111011011 | 011 | True [4, 6, 10, 12] | 11100101001101010011 | 010 | True [11, 12] | 11101111000001010011 | 011 | True [5, 13] | 11101011000110010011 | 100 | True

这里的编号只用来辨认本例中的对象，不能当成另一份记录里的固定身份。阅读表格时先找到输入，再顺着运算顺序对照输出；空列表、零值和不存在的结果有不同含义，不能混用。表中分数保留精确值，小数显示仅为阅读方便。

怎样自己复核

完整码字用同一多项式相除应余零。把一位或多位翻转后再除，余数非零才表示本例检测到了错误；余零只能说明校验没有发现异常。多项式各系数只在零一之间，不使用普通整数除法中的借位。

按表中位序从左往右编号，手动翻转指定位置，保留每一次异或之后的串。检验时要包含附加的校验位，不能只检查原消息。若要判断某类错误能否全部检出，需要研究那一类错误的结构，少量示例通过并不能代替完整证明。

适用范围

本例是教学用的直接长除法，初始余数为零，没有位反射或最终异或，不声称兼容任何现成文件格式。不同参数即使多项式相同，也可能产生不同的校验值。

本例是一套可复现的游戏机制练习，不依赖具体品牌或某个软件的默认设置。修改任何边界约定、输入参数或操作顺序后，应重新推演并保存中间状态。发现差异时先定位第一处不一致，再判断是规则不同还是计算错误，不要只把最终答案调整到看起来相同。